5sin6x+4=2sin12x+5cos6x как это решить

Воспользуемся тригонометрическими равенствами:

sin (2 * α) = 2 * sin (α) * cos (α),

sin^2 (α) + cos^2 (α) = 1,

и равенством:

a^2 - 2 * a * b + b^2 = (a - b) ^2;

Преобразуем уравнение:

5 * sin (6 * x) + 4 - 2 * sin (12 * x) - 5 * cos (6 * x) = 0;

5 * sin (6 * x) + 2 + 2 * [sin^2 (6 * x) + cos^2 (6 * x) ] - 4 * sin (6 * x) * cos (6 * x) - 5 * cos (6 * x) = 0;

5 * sin (6 * x) - 5 * cos (6 * x) + 2 + 2 * [sin^2 (6 * x) - 2 * sin (6 * x) * cos (6 * x) + cos^2 (6 * x) ] = 0;

5 * [sin (6 * x) - cos (6 * x) ] + 2 + 2 * [sin (6 * x) - cos (6 * x) ]^2 = 0;

Получили квадратное уравнение относительно

z = sin (6 * x) - cos (6 * x);

2 * z^2 + 5 * z + 2 = 0;

Найдем корни:

z = [-5 ± sqrt (25 - 16) ]/4;

z1 = - 2, z2 = - 1/2;

Первый корень не подходит, так как функции sin и cos не могут одновременно принимать свои максимальные значения ±1.

sin (6 * x) - cos (6 * x) = - 1/2;

Возьмем квадрат этого уравнения:

sin^2 (6 * x) - 2 * sin (6 * x) * cos (6 * x) + cos^2 (6 * x) = 1/4;

1 - sin (12 ^ x) = 1/4;

sin (12 * x) = 3/4;

x = [ (-1) ^n * arcsin (3/4) + π * n]/12.