13 1) Loq₁₆x + loq₈x + loq₄x = 2 2) Loq₂ (x-2) + Loq₂ (x+1) = 2 Loq₇7

Решим два логарифмических уравнения, хотя об этом явного требования в задании нет. В процессе решения уравнений воспользуемся свойствами логарифмов.

Для того, чтобы решить уравнение log₁₆x + log₈x + log₄x = 2, применим формулу log_ab = (log_cb) / (log_ca), где а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1. В качестве нового основания примем число 2 и воспользуемся равенствами: log₂16 = log₂2⁴ = 4; log₂8 = log₂2³ = 3; log₂4 = log₂2² = 2. Имеем: log₂x / log₂16 + log₂x / log₂8 + log₂x / log₂4 = 2 или (1/4 + 1/3 + 1/2) * log₂x = 2. Последнее уравнение равносильно уравнению: (13/12) * log₂x = 2, откуда log₂x = 2 : (13/12) = (2 * 12) / 13 = 24/13. Согласно определения логарифма, х = 2^24/13. Заметим, что, по всей видимости, исходный вид уравнения был таким: log₁₆x + log₈x + log₄x = 13/2. Тогда, в конце решения получили бы равенство (13/12) * log₂x = 13/2, что после log₂x = (13/2) : (13/12) = 6 дает решение: х = 2⁶ = 64. Прежде чем, решить уравнение log₂ (x - 2) + log₂ (x + 1) = 2 * log₇7, заметим, что оно имеет смысл, если x - 2 ≥ 0 и x + 1 ≥ 0. Эти неравенства выполнятся при х ∈ [2; + ∞). Применим формулу log_a (b * с) = log_ab + log_aс, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0. Тогда, данное уравнение примет вид: log₂ ((x - 2) * (x + 1)) = 2 * 1 или log₂ (x² - x - 2) = log₂2². Итак, x² - x - 2 = 4, откуда x² - x - 6 = 0. Дискриминант D полученного квадратного уравнения равен D = (-1) ² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25. Следовательно, оно имеет два корня: х₁ = (1 - √ (25)) / 2 = (1 - 5) / 2 = - 4/2 = - 2 и х₂ = (1 + √ (25)) / 2 = (1 + 5) / 2 = 6/2 = 3. Найденный корень квадратного уравнения х = - 2 не может считаться решением данного уравнения, так как - 2 ∉ [2; + ∞). Решением данного уравнения является корень х = 3, так как 3 ∈ [2; + ∞).