Составить систему уравнений к задаче. Диагональ прямоугольника равна 30 дм, а его площадь 432 дм2. Найдите стороны прямоугольника.

Искомые стороны (в дециметрах) прямоугольника обозначим через х и у. Как известно, при известных сторонах прямоугольника а и b, его диагональ d (у прямоугольника имеются две равные друг другу диагонали) можно определить из равенства а² + b² = d². Кроме того, его площадь S можно вычислить по формуле S = а * b. Итак, согласно требованию задания, составим следующие два уравнения относительно двух неизвестных: х² + у² = 30² и х * у = 432. Для того, чтобы решить эту систему уравнений, сначала, используя формулу сокращенного умножения (a + b) ² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы) вычислим (х + у) ² = х² + 2 * х * у + у² = х² + у² + 2 * х * у = 900 + 2 * 432 = 1764, откуда х + у = 42. Используя равенства х + у = 42 и х * у = 432, составим следующее квадратное уравнение z² - 42 * z + 432 = 0. Согласно теореме Виета, корни этого уравнения будут равны х и у. Вычислим дискриминант D этого уравнения D = 42² - 4 * 1 * 432 = 1764 - 1728 = 36 > 0. Итак, корнями квадратного уравнения являются: z₁ = (42 - √ (36)) / 2 = (42 - 6) / 2 = 36/2 = 18 и z₂ = (42 + √ (36)) / 2 = (42 + 6) / 2 = 48/2 = 24. Таким образом, стороны прямоугольника равны 24 дм и 18 дм.

Ответ: 24 дм и 18 дм.