Как правильно пишется: кул-шариф или кул шариф? и нужно ли название мечети заключать в кавычки?

Правильным будет написание названия мечети через дефис и обе части этого названия верным будет писать с большой буквы - Кул-Шариф. Также следует отметить, что это название мечети не стоит заключать в кавычки.

В кавычки заключаются реальные имена собственные, когда они вместе с родовым словом, и условные.