Почему пишется певучЕ?

Певуче - это имя прилагательное в краткой форме.

РАзберем слово по составу:

пе-это корень, в-суффикс, уч-суффикс, е-это окончание.

Слово "певуче" - это наречение. Наречения не имеют окончаний. В слове "певуче" - е - это суффикс. Суффикс - е пишется в наречиях в безударной позиции после шипящих (например, крепче, проще). В данном слове ударение падает на второй слог (певУче), то есть суффикс - е безударный и стоит после шипящего "ч".