Почему мы не можем начать вопросительный вопрос с глагола HAVE Do the children have lessons on Saturday morning?

Вопрос может начинаться с have только в том случае, если это слово выступает в качестве вспомогательного глагола - это происходит в Present Perfect. Например, Have you seen him?

А в данном примере have выступает как обычный смысловой глагол ("имеют, у них есть") и стоит в Present Simple. Поэтому вопрос можно задать только с помощью того вспомогательного глагола, который употребляется для этого грамматического времени - do.