Has или have в предложении ... you got a dog?

Have и has - это формы глагола to have (иметь) в настоящем времени. Форма has употребляется, если подлежащее выражено местоимением или существительным третьего лица единственного числа (he, she, it), во всех остальных случаях (I, we, you, they) употребляется форма have. В нашем случае подлежащее выражено местоимением you, поэтому выбираем форму have:

Have you got a dog? - У тебя (вас) есть собака?