My mom says she'll never forget meeting my dad for the time. Объяснить почему meeting, а не to meet или she met.

My mom says she'll never forget meeting my dad for the first time.

Мы употребляем герундий, поскольку имеется в виду конкретный момент времени. Meeting здесь может быть переведен как "встреча". ("Мама говорит, что она никогда не забудет момент первой встречи с отцом").

Однако, можно также сказать:

My mom says that she will never forget the moment when she met my father.