Какой артикль нужно вставить в предложение Give me __ ball?

Здесь нам нужно отталкиваться от ситуации.

В случае, если имеется ввиду определенный, конкретный мяч, если мы хотим сказать: "Дай мне этот мяч", то необходимо применить определенный артикль "The".

Во всех остальных случаях употребляется неопределенный артикль "A".

Это легко определяется в контексте. Если предмет упоминается впервые, он употребляется с неопределенным артиклем "A". В следующем за ним предложении он уже употребляется с определенным артиклем "The".

Например:

I saw a ball in the store. "Give me the ball," I asked the seller.