общее начало у слов - brush, - drawer,-head,-er

Общим началом может быть слово nail (ноготь/гвоздь). Так, получается:

nail + brush = nailbrush - щётка для ногтей;

nail + drawer = naildrawer - гвоздодёр;

nail + head = nailhead - шапка гвоздя;

nail + er = nailer - гвоздильщик;

так же можно было бы употребить слово hair, но слова "hairer" не существует, поэтому ответом будет слово NAIL.