Miss Chatter (doesn ' t / won't/didn't) send these postcards next week.

Обстоятельство времени next week указывает на то, что действие, описываемое в предложении, относится к будущему. Поэтому сказуемое нужно употребить в форме Future Simple, которая состоит из вспомогательного глагола will и инфинитива основного глагола без частицы to. В отрицательной форме к вспомогательному глаголу will добавляется отрицательная частица not, в сокращённом виде - won't. Этот вариант и выбираем:

Miss Chatter won't send these postcards next week. - Мисс Четтер не будет посылать эти открытки на следующей неделе.