Как правильно сказать: at the home или at home? This is the cat или This is cat?

At the home/at home - однозначно правильно "at home". Это устойчивое выражение, и употребляется без артикля. Артикль означает определенность или неопределенность предмета. Слово "home" переводится как "дом", но в отличие от слова "house" - тоже "дом", home означает родной дом, то есть это место не может быть менее или более определенным, оно не может быть "каким-то из". This is the cat/this is cat - если выбирать из этих двух вариантов, то правильный "This is the cat". Но насчет артикля, то можно использовать также и неопределенный артикль "а", если имеется ввиду любой кот, а не какой-то конкретный.