Как по английски написать моего кота зовут елисей

My cat's name is Elisey.

Пояснение: имена собственные (в том числе клички домашних питомцев) при переводе с русского на английский латинизируются, то есть русские буквы заменяются на английские, сходные по звучанию. Для того, чтобы сказать "имя кота" требуется воспользоваться правилом образования притяжательного падежа, а именно: к слову, которому что-то принадлежит, добавляется апостроф (') и окончание s. В предложении использован глагол be в форме is, так как подлежащее (name - имя) третьего лица и единственного числа.