Докажите что треугольник биссектриса которого совпадает с его высотой является равнобедренным

Пусть будут треугольник АВС. АН - биссектриса. Докажем равенство треугольников АСН и АВН.

Сторона АН является общей. Следовательно, в треугольниках, одна сторона равна.

Также, АН - биссектриса, следовательно углы САН и ВАН равны.

Так как АН - высота, то и углы СНА и ВНА равны и соответствуют 90°.

Докажем равенство треугольников по стороне и двум прилегающим углам.

Так как сторона АН - общая, то треугольник AСН можно наложить на треугольник ABН так, чтобы сторона АН также была общая, точки В и С лежали по одну сторону от прямой AB.

Поскольку углы СAН = ВAН, сторона AС при этом наложится на луч AВ.

Так как углы СНА и АНВ равны, сторона СН наложится на сторону НВ.

Точка С принадлежит как стороне AС, так и стороне АВ, поэтому С лежит и на луче AC, и на луче АB.

Лучи AC и CB пересекаются в точке C. Следовательно, точка С совместится с точкой В.

Значит, сторона AС совместится со стороной AВ, а сторона СН - со стороной НВ.

Таким образом, при наложении треугольники АСН и АВН. полностью совместятся.

А это означает, что треугольники АСН и АВН. равны (по определению).

Следовательно, стороны АС = АВ, значит, треугольник АВС - равнобедренный.