Расстояние от точки М до центра О окружности равно диаметру. Через точку М проведены две прямые, касающиеся окружности в точках А и В. Найдите углы треугольника АОВ.

1. Отрезки MA и MB равны, так как это отрезки касательных, проведенных из одной точки. OA и OB равны как радиусы окружности. ∠MAO и ∠MBO равны по 90°, так как радиусы OA и OB, проведенные к точкам касания A и B, перпендикулярны касательным MA и MB. ∠OMA и ∠OMB равны, так как касательные, проведенные из одной точки, составляют одинаковые углы с прямой, соединяющей эту точку и центр окружности.

Таким образом, △MAO и △MBO равные прямоугольные треугольники.

2. Так как MO равно диаметру, то MO в 2 раза больше радиуса окружности, значит:

MO = 2OA = 2OB.

В △MAO OA - катет, MO - гипотенуза. Так как катет OA в 2 раза меньше гипотенузы MO, то он лежит напротив угла, равного 30°. OA лежит напротив ∠OMA, тогда:

∠OMA = ∠OMB = 30°.

3. В четырехугольнике BMAO ∠MAO = ∠MBO = 90°, ∠BMA = ∠OMA + ∠OMB = 30° + 30° = 60°.

По теореме о сумме углов четырехугольника:

∠MAO + ∠MBO + ∠BMA + ∠AOB = 360°;

90° + 90° + 60° + ∠AOB = 360°;

∠AOB = 360° - 240°;

∠AOB = 120°.

4. В △AOB OA = OB, тогда △AOB - равнобедренный, ∠BAO = ∠ABO = x - углы при основании AB.

По теореме о сумме углов треугольника:

∠BAO + ∠AOB + ∠ABO = 180°;

x + 120° + x = 180°;

2x = 180° - 120°;

2x = 60°;

x = 60°/2;

x = 30°.

Таким образом, в △AOB ∠BAO = ∠ABO = 30°, ∠AOB = 120°.

Ответ: ∠BAO = ∠ABO = 30°, ∠AOB = 120°.