Двое играют в следующую игру. Дано число 0. Разрешается прибавить к текущему числу любое натуральное число от 1 до 9. Выигрывает тот, кто получит число N. Кто выигрывает при правильной игре?

Назовем число n выигрышным, если у первого игрока есть стратегия, позволяющая получить его первым (с помощью заданных операций) и проигрышным, если такой стратегии нет (то есть, выиграет второй игрок).

Если n = 1, ..., 9, то первый игрок выиграет, а если n = 10, то проиграет, поскольку любой его ход переводит число 0 в число от 1 до 9, то есть, второй следующим ходом победит. На самом деле можно считать, что если первый прибавил, к примеру, 3, то мы перешли к игре, где начинают с нуля и нужно набрать N-3. Поэтому позиция 10 проигрышная, т. к. любой ход - прибавление к нулю 1, 2, ..., 9 приводит нас к игре, где нужно получить 9, 8, ..., 1, то есть в выигрышную для второго ситуацию.

Позиции 11, 12, ..., 19 - тоже выигрышные (мы можем свести ситуацию к игре, где надо набрать 10). Позиция 20 - проигрышная (мы можем попасть только в выигрышную позицию). Продолжая аналогичные рассуждения получим, что позиции, кратные 10, проигрышные (для первого), а все остальные - выигрышные.

Тот, кто ходит вторым, всегда может увеличить имеющееся число на 10, вне зависимости от того, какое чисто прибавит первый игрок. Если до нужного числа N остается 10, То проигрывает тот, чей сейчас ход. Тактика состоит в том, что первый игрок делает так, чтобы до числа N оставалось число кратное 10, затем постоянно превращает ход соперника в десятку. Например: N = 33. Первый игрок прибавляет 3. Остается 30. Затем, если второй прибавит 2, он прибавит 8, если второй прибавит 6, он прибавит 4 и т. д. чтобы в сумме получилось 10. В этом случае он гарантированно выиграет. Однако, если число N изначально кратно 10, то используя ту же самую тактику, гарантированно побеждает игрок номер 2.

Ответ: Если N кратно 10, то выиграет игрок, который ходит вторым. В остальных случаях выигрывает тот, кто ходит первым.