Стал ли московский князь независимым от Орды и почему?

Смотря, что считать независимостью.

Если углубиться в историю, можно вспомнить, что впервые при Иване Даниловиче Калите князь получил право самостоятельного сбора дани (за что, собственно говоря, прозвище "калита" и появилось, ведь большая сумма со сбора дани отходила лично Ивану Даниловичу, а "калита" - мешок с деньгами), т. е это был первых шаг на пути становления независимости. Далее, при Дмитрии Донском, по завещанию была задумана передача ярлыка без участия Орды в обсуждении этого вопроса сыну Дмитрия Донского - второй шаг на становлении независимости от Орды.