Какая страна, пересекаемая северным полярным кругом, была под властью России до 1919?

Полагаю, речь идёт о Финляндии. Других территорий России, которые стали самостоятельными странами в районе Полярного круга не существует. Аляска не в счёт. Во-первых, продали её значительно раньше, во-вторых, это часть США, а не самостоятельное государство.

За Полярным кругом находится четверть территории Финляндской республики. При этом финны не плохо зарабатывают на прохождении его по своим территориям: создана соответствующая туристическая инфраструктура, неподалёку офис Санта-Клауса, проводятся всевозможные обряды, мероприятия типа ритуала крещения на Полярном круге, выдаётся грамота о его пересечении и т. п.