Что общего в изображении запорожцев у художника (И. Е. Репина) и писателя (Н. В. Гоголя)

Картина РепИна называется просто "Запорожцы".

Факт переписки турецкого султана и запорожцев действительно имел место. Они обменялись следующими посланиями:

"Я, султан и владыка Блистательной Порты, сын Мухаммеда, брат Солнца и Луны, внук и наместник Бога на земле, властелин царств Македонского, Вавилонского, Иерусалимского, Великого и Малого Египта, царь над царями, властитель над властелинами, несравненный рыцарь, никем не победимый воин, владетель древа жизни, неотступный хранитель гроба Иисуса Христа, попечитель самого Бога, надежда и утешитель мусульман, устрашитель и великий защитник христиан, повелеваю вам, запорожские казаки, сдаться мне добровольно и без всякого сопротивления и меня вашими нападениями не заставлять беспокоиться.

Султан турецкий Мухаммад IV."