Почему образ Гамлета стал вечным?

Потому что принц Датский задается вечными вопросами. "Что есть смертный сон?", "Быть или не быть?" - актуально всегда, хотя ответы меняются от эпохи к эпохе. Если бы Гамлет спрашивал себя "Как прокачать тачку?; хорошо, в его время: "Как правильно носить королевскую мантию?" или "Как правильно ставить паруса?" - никто не читал бы "Гамлета" уже в 19 веке.

Обольщаться насчет вечности, впрочем, тоже не надо спешить. Образы героев Гомера тоже считались вечными, пока не исчезло воинское сословие.