Упростить: (a+1) (a^2+1) (a^4+1) (a^8+1) * ... * (a^1024+1)

Домножим и разделим данное выражение на (a - 1):

(a + 1) (a² + 1²) (a⁴ + 1⁴) (a⁸ + 1⁸) (a¹⁶ + 1¹⁶) * ... * (a¹⁰²⁴ + 1¹⁰²⁴) = (a - 1) (a + 1) (a² + 1²) (a⁴ + 1⁴) (a⁸ + 1⁸) (a¹⁶ + 1¹⁶) * ... * (a¹⁰²⁴ + 1¹⁰²⁴) / (a - 1).

Применим формулу сокращенного умножения разность квадратов: (х - у) (х + у) = х² - у². В результате получим:

(a² - 1²) (a² + 1²) (a⁴ + 1⁴) (a⁸ + 1⁸) (a¹⁶ + 1¹⁶) * ... * (a¹⁰²⁴ + 1¹⁰²⁴) / (a - 1) = (a⁴ - 1) (a⁴ + 1⁴) (a⁸ + 1⁸) (a¹⁶ + 1¹⁶) * ... * (a¹⁰²⁴ + 1¹⁰²⁴) / (a - 1) = (a⁸ - 1⁸) (a⁸ + 1⁸) (a¹⁶ + 1¹⁶) * ... * (a¹⁰²⁴ + 1¹⁰²⁴) / (a - 1) = (a¹⁶ - 1¹⁶) (a¹⁶ + 1¹⁶) * ... * (a¹⁰²⁴ + 1¹⁰²⁴) / (a - 1) = ... = (a¹⁰²⁴ - 1¹⁰²⁴) (a¹⁰²⁴ + 1¹⁰²⁴) / (a - 1) = (a²⁰⁴⁸ - 1) / (а - 1).

Ответ: (a²⁰⁴⁸ - 1) / (а - 1).