F (x) = 1/3x^3-x^2 Xo=1

Уравнение касательной к графику функции, проходящей через точку x₀ имеет вид:

у = f (x₀) + f' (x₀) · (x - x₀).

В нашем случае x₀ = 1, функция имеет вид f (x) = 1/3x^3 - x^2.

1) найдём значение f (x₀):

f (x₀) = 1/3 * 1^3 - 1^2 = 1/3 - 1 = - 2/3.

2) найдём производную f' (x):

f' (x) = (1/3 х^3) ' - (х^2) ' = 1/3 * 3 * х^2 - 2 * х = х^2 - 2x.

3) вычислим значение производной в точке x₀:

f' (x₀) = f' (1) = 1^2 - 2*1 = 1 - 2 = - 1.

4) запишем уравнение касательной, подставив в формулу полученные значения:

у = - 2/3 - 1 * (х - 1) = - 2/3 - х + 1 = 1/3 - х.

у = 1/3 - х.

Ответ: уравнение касательной к графику функции f (x) = 1/3x^3 - x^2, проходящей через точку x₀ = 1, имеет вид у = 1/3 - х.