Упростить выражение (a^2-1) (a^4+a^2+1) - (a+a^3) (a^3-a)

Упростим выражение (a^2 - 1) (a^4 + a^2 + 1) - (a + a^3) (a^3 - a) используя тождественные преобразования

Составим алгоритм действий для выполнения задания для того, чтобы открыть скобки в заданном выражении вспомним формулы сокращенного умножения (разность кубов и разность квадратов) и правило открытия скобок, перед которыми стоит знак минус; откроем скобки, сгруппируем и приведем подобные слагаемые; найдем значение выражения при заданном значении переменной. Упростим выражение (a^2 - 1) (a^4 + a^2 + 1) - (a + a^3) (a^3 - a)

Для открытия скобок в выражении вспомним формулы сокращенного умножения.

Разность кубов - произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

(a - b) (a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3.

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы. a^2 - b^2 = (a - b) (a + b).

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус: скобки вместе со знаком минус опускаются, а знаки всех слагаемых в скобках заменяются на противоположные.

Откроем скобки в заданном выражении:

(a^2 - 1) (a^4 + a^2 + 1) - (a + a^3) (a^3 - a) = (a^2 - 1) (a^4 + a^2 + 1) - (a^3 + a) (a^3 - a) = (a^2) ^3 - 1^3 - ((a^3) ^2 - a^2) = a^6 - 1 - a^6 + a^2;

Следующим шагом сгруппируем и приведем подобные слагаемые в полученном выражении.

Для этого вспомним правило приведения подобных слагаемых.

Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Получим:

a^6 - a^6 + a^2 - 1 = a^2 - 1.

Ответ: a^2 - 1.

(a^2 - 1) (a^4 + a^2 + 1) - (a + a^3) (a^3 - a) - раскроем скобки; чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена; при умножении первых двух скобок умножим a^2 на a^4, на a^2 и на 1; вторые две скобки свернем по формуле разности квадратов двух выражений (a - b) (a + b) = a^2 - b^2, где a = a^3, b = a;

a^6 + a^4 + a^2 - a^4 - a^2 - 1 - (a^6 - a^2) = a^6 + a^4 + a^2 - a^4 - a^2 - 1 - a^6 + a^2 = (a^6 - a^6) + (a^4 - a^4) + (a^2 - a^2 + a^2) - 1 = a^2 - 1