2^x+3 + 2^x+1 - 7 * 2^x = 48

Решим уравнение: 2^{х + 3} + 2^{х + 1} - 7 * 2^х = 48.

Рассмотрим левую часть уравнения

Воспользуемся свойством умножения показательных функций с одинаковым основанием:

a^b * a^c = a^{b + c}. 2^{х + 3} = 2^х * 2³ = 8 * 2^х. 2^{х + 1} = 2^х * 2¹ = 2 * 2^х.

Запишем левую часть уравнения с учетом упрощений:

2^{х + 3} + 2^{х + 1} - 7 * 2^х = 8 * 2^х + 2 * 2^х - 7 * 2^х.

Общий множитель у трех слагаемых: 2^х, вынесем его за скобки, получим:

8 * 2^х + 2 * 2^х - 7 * 2^х = 2^х * (8 + 2 - 7) = 3 * 2^х.

Рассмотрим правую часть уравнения

Разложим число 48 на простые множители:

48 = 3 * 16 = 3 * 2 * 8 = 3 * 2 * 2 * 4 = 3 * 2 * 2 * 2 * 2 = 3 * 2⁴.

Запишем исходное уравнение 2^{х + 3} + 2^{х + 1} - 7 * 2^х = 48 с учетом вышеописанных преобразований:

3 * 2^х = 3 * 2⁴,

разделим обе части уравнения на 3:

3 * 2^х / 3 = 3 * 2⁴ / 3,

2^х = 2⁴.

Т. к. основания равны, то и степени должны быть равны, тогда получим:

х = 4.

Ответ: 4.

Проверка

для проверки подставим х = 4 в исходное уравнение:

2^{4 + 3} + 2^{4 + 1} - 7 * 2⁴ = 48,

2⁷ + 2⁵ - 7 * 2⁴ = 48,

128 + 32 - 7 * 16 = 48,

128 + 32 - 112 = 48,

48 = 48.

Верное равенство, значит корень уравнения найден верно.

2^ (x + 3) + 2^ (x + 1) - 7 * 2^x = 48 - для выражений 2^ (x + 3) и 2^ (x + 1) применим свойство степени a^n * a^m = a^ (n + m);

2^x * 2^3 + 2^x * 2^1 - 7 * 2 ^x = 48;

8 * 2^x + 2 * 2^x - 7 * 2^x = 48 - вынесем за скобку общий множитель 2^x;

2*x * (8 + 2 - 7) = 48;

2^x * 3 = 48;

2^x = 48 : 3;

2^x = 16;

2^x = 2^4 - если основания степеней равны, то должны быть равны и показатели степеней;

x = 4.

Ответ. 4.