Дан прямоугольник с диагональю 9 см найти стороны a и b при которых a*b=max

Если стороны прямоугольники равны a и b, то по теореме Пифагора можно вычислить длину диагонали d:

d^2 = a^2 + b^2 = 9^2 = 81.

Пусть x = a^2 и y = b^2. Тогда:

x + y = 81.

Заметим, что a * b принимает максимальное значение

одновременно с a^2 * b^2.

Рассмотрим функцию:

f (x) = x * y = x * (81 - x).

f' (x) = 81 - 2 * x = 0.

Функция достигает максимума при x = 81/2.

Следовательно, y = 81 - x = 81 - 81/2 = 81/2.

Отсюда получаем,

x = a^2 = y = b^2 = 81/2,

a = b = 9/√2 = 9 * √2/2.

Итак, произведение a * b достигает максимума, когда

a = b = 9 * √2/2, т. е. когда прямоугольник является квадратом.