7^ (x-2) + 38*3^x=7^ (x+1)

Найдем корни уравнения, используя свойства степеней: 7 ^(x-2) + 38 * 3^x = 7 ^(x+1) .

Перенесем степени с основание 7 слева на право: 38 * 3^x = 7 ^{(x + 1)} - 7 ^{(x - 2)} .

Запишем 7 ^{(x + 1)} - 7 ^{(x - 2)} как 7 ^{(x - 2 + 3)} - 7 ^{(x - 2)} и вынесем 7 ^{(x - 2)} за скобки и получим:

7 ^{(x - 2)} * 7³ - 7 ^{(x - 2)} = 7 ^{(x - 2)} * (7³ - 1).

Далее: 38 * 3^x = 7 ^{(x - 2)} * (7^{3 - 1}) → 38 * 3² * 3 ^{(x - 2)} = 7 ^(x-2) * (343 - 1).

342 * 3 ^(x-2) = 7 ^{(x - 2)} *342 → 3 ^{(x - 2)} = 7 ^{(x - 2)} .

Разделим стороны на 7 ^{(x - 2)} и используем формулу: aⁿ/bⁿ = (a/b) ⁿ.

(3/7) ^{(x - 2)} = 1 → (3/7) ^{(x - 2)} = (3/7) ⁰, если степени, с одинаковыми основаниями равны, то и показатели степеней равны, поэтому x - 2 = 0 → x = 2.

Ответ: x = 2.