Решите данные неравенства: 1) x (7-x) >0 2) x^2 (3-x) (x+1)

1) Решим неравенство методом интервалов.

x (7 - x) > 0.

В скобках х имеет отрицательный коэффициент, вынесем минус за скобку и умножим неравенство на (-1), знак неравенства перевернется.

-x (х - 7) > 0.

x (х - 7) < 0.

Находим корни неравенства:

х = 0.

х - 7 = 0; х = 7.

Отмечаем на числовой прямой точки 0 и 7, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) 0 (-) 7 (+).

Так как знак неравенства < 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).

Решением неравенства будет промежуток (0; 7).

2) x² (3 - x) (x + 1) ≤ 0.

Значение x² всегда положительно, поэтому им можно пренебречь.

Произведение двух скобок тогда меньше нуля, когда скобки имеют разные знаки. Получается две системы:

3 - х ≤ 0; х + 1 ≥ 0 (а) и 3 - х ≥ 0; х + 1 ≤ 0 (б).

а) 3 - х ≤ 0; - х ≤ - 3; х ≥ 3.

х + 1 ≥ 0; х ≥ - 1.

Решение системы: [3; + ∞).

б) 3 - х ≥ 0; - х ≥ - 3; х ≤ 3.

х + 1 ≤ 0; х ≤ - 1.

Решение системы: (-∞; - 1].

Ответ: х принадлежит промежуткам (-∞; - 1] и [3; + ∞).

3) 3x² - 7x + 2 < 0.

Рассмотрим функцию у = 3x² - 7x + 2, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 3x² - 7x + 2 = 0.

D = 49 - 24 = 25 (√D = 5);

х₁ = (7 - 5) / 6 = 2/6 = 1/3.

х₂ = (7 + 5) / 6 = 12/6 = 2.

Отмечаем на числовой прямой точки 1/3 и 2, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (1/3; 2).