решить уравнение: х / (х-3) + 3 / (х-2) = 3 / (х^2-5 х+6)

Разложим знаменатель дроби из правой части уравнения на множители по формуле ax^2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2), где х1 и х2 - корни квадратного трехчлена.

х^2 - 5 х + 6 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-5) ^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1; √D = 1;

x = (-b ± √D) / (2a);

х1 = (5 + 1) / 2 = 3;

х2 = (5 - 1) / 2 = 2.

х^2 - 5 х + 6 = (х - 3) (х - 2).

Подставим разложение в исходную дробь.

х / (х - 3) + 3 / (х - 2) = 3 / ((х - 3) (х - 2)).

Приведем дроби к общему знаменателю (х - 3) (х - 2). Дополнительный множитель для первой дроби равен (х - 2), для второй дроби равен (х - 3).

(х (х - 2) + 3 (х - 3)) / ((х - 3) (х - 2)) = 3 / ((х - 3) (х - 2));

О. Д. З. х ≠ 2, x ≠ 3;

х (х - 2) + 3 (х - 3) = 3;

х^2 - 2 х + 3 х - 9 - 3 = 0;

х^2 + х - 12 = 0;

D = 1^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49; √D = 7;

х1 = (-1 + 7) / 2 = 3 - посторонний корень, т. к. не принадлежит О. Д. З.;

х2 = (-1 - 7) / 2 = - 4.

Ответ. - 4.