19*4^x+4^-x<20 как решать

Воспользуемся свойством степеней и преобразуем показательное неравенство:

19 * 4 ^х + 4 ^{- х} < 20;

19 * 4 ^х + 1 / (4 ^х) < 20;

Выполним замену у = 4 ^х , у > 0:

19 у + 1/у < 20;

19 у + 1/у - 20 < 0;

19 у² - 20 у + 1 = 0;

3. Решим квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 20) ² - 4 * 1 * 19 = 400 + 76 = 324;

D › 0, значит:

y1 = ( - b - √D) / 2a = (20 - √324) / 2 * 19 = (20 - 18) / 38 = 2 / 38 = 1/19;

y2 = ( - b + √D) / 2a = (20 + √324) / 2 * 19 = (20 + 18) / 38 = 38 / 38 = 1;

+ - +

---° (1/19) - --° (1) - --

y ∈ (1/19; 1);

Составим систему уравнений:

{1/19 < y < 1;

{y > 0;

Подставим нашу переменную назад:

у = 4 ^х ;

1/19 < 4 ^х < 1;

1) 4 ^х < 1;

4 ^х < 4 ⁰;

х < 0;

2) 1/19 < 4 ^х;

log ₄ 1/19 < log ₄ 4 ^х;

log ₄ 1/19 < xlog ₄ 4;

log ₄ 1/19 < x;

log ₄ 1/19 < x < 0;

Значит, х ∈ (log ₄ 1/19; 0);

Ответ: х ∈ (log ₄ 1/19; 0).