Найдите наименьшее натуральное число, которое оканчивается цифрой 6 и увеличивается в 4 раза, если его последнюю цифру стереть и написать её впереди образовавшегося числа.

Натуральное число, удовлетворяющее условиям задания обозначим через L. Поскольку в описании задания про количество разрядов числа L нет информации, то исследование начнём с наименьшего количества разрядов, то есть с однозначного числа L. Пусть искомое L - однозначное число, то есть L = 6. Стираем 6, пишем 6, получаем 6. Очевидно, что число 6 не удовлетворяет всем условиям задания. Значит, натуральное число L не может быть однозначным числом. Пусть искомое L - двузначное число, то есть L = 10 * n + 6, где n ∈ N, и 1 ≤ n ≤ 9, N - множество натуральных чисел. Тогда, стираем последнюю цифру 6, пишем впереди 6 и получаем число 60 + n. По условию задания, должно выполняться равенство 60 + n = 4 * (10 * n + 6) или 40 * n - n = 60 - 24, откуда n = 36 : 39 = 12/13. Поскольку 12/13 ∉ N, то L не может быть двузначным числом. Пусть искомое L - трёхзначное число, то есть L = 100 * n + 10 * m + 6, где n ∈ N, m ∈ Z, 1 ≤ n ≤ 9 и 0 ≤ m ≤ 9, Z - множество целых чисел. Тогда, должно выполняться равенство 600 + 10 * n + m = 4 * (100 * n + 10 * m + 6) или 400 * n - 10 * n + 40 * m - m = 600 - 24, откуда 130 * n + 13 * m = 192. Начнём проверку с наименьшего n = 1. Имеем: 130 * 1 + 13 * m = 192, откуда m = (192 - 130) : 13 = 62/13 = 4¹⁰/₁₃. Поскольку, m = 4¹⁰/₁₃ ∉ Z, кроме того, 130 кратно 13, то дальнейшие проверки для других n бесполезны. Значит, L не является трёхзначным числом. Пусть искомое L - четырёхзначное число, то есть L = 1000 * n + 100 * m + 10 * k + 6, где n ∈ N, m ∈ Z, k ∈ Z, 1 ≤ n ≤ 9, 0 ≤ m ≤ 9 и 0 ≤ k ≤ 9. Тогда, должно выполняться равенство 6000 + 100 * n + 10 * m + k = 4 * (1000 * n + 100 * m + 10 * k + 6) или 4000 * n - 100 * n + 400 * m - 10 * m + 40 * k - k = 6000 - 24, откуда 1300 * n + 130 * m + 13 * k = 1992. Начнём проверку с наименьших n = 1 и m = 0. Имеем: 1300 * 1 + 13 * k = 1992, откуда k = (1992 - 1300) : 13 = 692/13 = 53³/₁₃. Поскольку k = 53³/₁₃ ∉ Z, кроме того, и 1300, и 130 кратны 13, то дальнейшие проверки для других n и m бесполезны. Следовательно, L не является четырёхзначным числом. Пусть искомое L - пятизначное число, то есть L = 10000 * n + 1000 * m + 100 * k + 10 * р + 6, где n ∈ N, m ∈ Z, k ∈ Z, р ∈ Z, 1 ≤ n ≤ 9, 0 ≤ m ≤ 9, 0 ≤ k ≤ 9 и 0 ≤ р ≤ 9. Тогда, должно выполняться равенство 60000 + 1000 * n + 100 * m + 10 * k + p = 4 * (10000 * n + 1000 * m + 100 * k + 10 * р + 6) или 40000 * n - 1000 * n + 4000 * m - 100 * m + 400 * k - 10 * k + 40 * р - р = 60000 - 24, откуда 13000 * n + 1300 * m + 130 * k + 13 * р = 19992. Начнём проверку с наименьших n = 1, m = 0 и k = 0. Тогда, имеем: 13000 * 1 + 13 * р = 19992, откуда р = (19992 - 13000) : 13 = 6992/13 = 537¹¹/₁₃. Поскольку р = 537¹¹/₁₃ ∉ Z, кроме того, и 13000, и 1300, и 130 кратны 13, то дальнейшие проверки для других n, m и k бесполезны. Следовательно, L не является пятизначным числом. Пусть искомое L - шестизначное число, то есть L = 100000 * n + 10000 * m + 1000 * k + 100 * р + 10 * q + 6, где n ∈ N, m ∈ Z, k ∈ Z, р ∈ Z, q ∈ Z, 1 ≤ n ≤ 9, 0 ≤ m ≤ 9, 0 ≤ k ≤ 9, 0 ≤ р ≤ 9 и 0 ≤ q ≤ 9. Тогда, должно выполняться равенство 600000 + 10000 * n + 1000 * m + 100 * k + 10 * p + q = 4 * (100000 * n + 10000 * m + 1000 * k + 100 * р + 10 * q + 6) или 400000 * n - 10000 * n + 40000 * m - 1000 * m + 4000 * k - 100 * k + 400 * р - 10 * р + 40 * q - q = 600000 - 24, откуда 130000 * n + 13000 * m + 1300 * k + 130 * р + 13 * q = 199992. Начнём проверку с наименьших n = 1, m = 0, k = 0 и p = 0. Тогда, имеем: 130000 * 1 + 13 * q = 199992, откуда q = (199992 - 130000) : 13 = 69992/13 = 5384. Поскольку q = 5384 ∈ Z, кроме того, и 130000, и 13000, и 1300, и 130 кратны 13, то число L действительно является шестизначным числом. Теперь определим цифры этого шестизначного числа. Поскольку, результат последнего вычисления q = 5384 > 9 не удовлетворяет условию 0 ≤ q ≤ 9, то увеличим n на 1, а остальные цифры не изменим: n = 2, m = 0, k = 0 и p = 0. Тогда, имеем: 130000 * 2 + 13 * q = 199992 или 13 * q = 199992 - 260000 = - 600008, что не возможно, если 0 ≤ q ≤ 9. Значит, n оставим прежним (n = 1), увеличим m. Легко вычислить, что m можно увеличить на 5: n = 1, m = 5, k = 0 и p = 0. Тогда, имеем: 130000 * 1 + 13000 * 5 + 13 * q = 199992, откуда q = (199992 - 130000 - 65000) : 13 = 4992/13 = 384 > 9. Теперь увеличим k на 3: n = 1, m = 5, k = 3 и p = 0. Тогда, имеем: 130000 * 1 + 13000 * 5 + 1300 * 3 + 13 * q = 199992, откуда q = (199992 - 130000 - 65000 - 3900) : 13 = 1092/13 = 84 > 9. Наконец, увеличим р на 8: n = 1, m = 5, k = 3 и p = 8. Тогда, имеем: 130000 * 1 + 13000 * 5 + 1300 * 3 + 130 * 8 + 13 * q = 199992, откуда q = (199992 - 130000 - 65000 - 3900 - 1040) : 13 = 52/13 = 4 ≤ 9. Таким образом, наименьшим натуральным числом, удовлетворяющим условиям задания, является 153846.

Ответ: 153846.