3^ (1+2tg3x) - 10 * 3^ (tg 3x) + 3 = 0

Чтобы решить показательное уравнение, воспользуемся свойством степени:

3^ (1 + 2tg3x) - 10 * 3^ (tg 3x) + 3 = 0;

3 * 3^ (2tg3x) - 10 * 3^ (tg 3x) + 3 = 0;

Для решения выполним замену:

3^ (tg 3x) = у, у > 0;

3 у² - 10y + 3 = 0;

Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 10) ² - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (10 - √64) / 2 * 3 = (10 - 8) / 6 = 2 / 6 = 1/3;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (10 + √64) / 2 * 3 = (10 + 8) / 6 = 18 / 6 = 3;

Найдем х:

3^ (tg 3x) = у;

Если у = 1/3, то:

3^ (tg 3x) = 1/3;

3^ (tg 3x) = 3^ ( - 1);

tg 3x = - 1;

Решим тригонометрическое уравнение:

3 х = arctg ( - 1) + πn, n ∈ Z;

3 х = - arctg (1) + πn, n ∈ Z;

3 х = - π/4 + πn, n ∈ Z;

х1 = - π/12 + π/3 * n, n ∈ Z;

Если у = 3, то:

3^ (tg 3x) = 3;

3^ (tg 3x) = 3^ (1);

tg 3x = 1;

Решим тригонометрическое уравнение:

3 х = arctg (1) + πn, n ∈ Z;

3 х = π/4 + πn, n ∈ Z;

х2 = π/12 + π/3 * n, n ∈ Z;

Ответ: х1 = - π/12 + π/3 * n, n ∈ Z, х2 = π/12 + π/3 * n, n ∈ Z.