2^3 х-3*2^2 х-6*2^х+8=0

2^{3 х} - 3 * 2^{2 х} - 6 * 2^х + 8 = 0.

Преобразуем степени:

(2^х) ³ - 3 * (2^х) ² - 6 * 2^х + 8 = 0.

Введем новую переменную, пусть 2^х = а.

а³ - 3 а² - 6 а + 8 = 0.

Разложим на множители. Корнями кубического многочлена являются делители свободного члена (в данном случае это число 8) : 1, - 1, 2, - 2, 4, - 4, 8 или - 8.

Предположим, а = 1: 1³ - 3 * 1² - 6 * 1 + 8 = 1 - 3 - 6 + 8 = 0 (подходит). х₁ = 1.

Первая скобка будет равна (х - х₁) = (х - 1).

Поделим (а³ - 3 а² - 6 аа + 8) на (а - 1), вторая скобка будет равна (a² - 2a - 8).

а³ - 3 а² - 6 аа + 8 = (а - 1) (a² - 2a - 8) = 0.

Отсюда а - 1 = 0; а = 1.

Или a² - 2a - 8 = 0; корни квадратного уравнения по теореме Виета равны - 2 и 4.

Значит, а = 1, а = - 2 и а = 4.

Возвращаемся к замене 2^х = а.

2^х = 1; 2^х = 2⁰; х = 0.

2^х = - 2 (не может быть, нет корней).

2^х = 4; 2^х = 2²; х = 2.

Ответ: корни уравнения равны 0 и 2.