Cos4x выразить через cosx

сos (4x) выразить через cos (x):

Представим cos (4x) как cos (2 (2x)), тогда по формуле косинуса двойного угла имеем:

cos (2 (2x)) = cos (2x) ^2 - sin (2x) ^2

По основному тригонометрическому тождеству:

sin (2x) ^2 + cos (2x) ^2 = 1 = > sin (2x) ^2 = 1 - cos (2x) ^2, тогда:

cos (2x) ^2 - sin (2x) ^2 = cos (2x) ^2 - 1 + cos (2x) ^2 = 2 * cos (2x) ^2 - 1

Рассмотрим первое слагаемое:

2 * cos (2x) ^2 = 2 * (cos (x) ^2 - sin (x) ^2) ^2 = 2 * (4 (cos (x)) ^4 + 4 (cos (x)) ^2 + 1) = 8cos (x)) ^4 + 8 (cos (x)) ^2 + 2, тогда

2 * cos (2x) ^2 - 1 = 8cos (x)) ^4 + 8 (cos (x)) ^2 + 2 - 1 = 8cos (x)) ^4 + 8 (cos (x)) ^2 + 1 = 8 (cos (x)) ^2 * (cos (x) ^2 + 1) + 1