2*2^ (2x) - 17*2^x+8=0; 5*2^ (2x) - 7*10^x+2*5^ (2x) = 0

1) 2 * 2^2x - 17 * 2^x + 8 = 0.

Произведем замену, пусть 2^x = а.

Получается квадратное уравнение 2 а² - 17 а + 8 = 0.

Решим его с помощью дискриминанта:

D = (-17) ² - 4 * 2 * 8 = 289 - 64 = 225 (√D = 15);

а₁ = (17 - 15) / (2 * 2) = 2/4 = 1/2.

а₂ = (17 + 15) / 4 = 32/4 = 8.

Вернемся к замене переменной 2^x = а.

а = 1/2; 2^x = 1/2; 2^x = 2 ^(-1) ; х = - 1.

а = 8; 2^x = 8; 2^x = 2³; х = 3.

Ответ: корни уравнения - 1 и 3.

2) 5 * 2^2x - 7 * 10^x + 2 * 5^2x = 0.

Представим число 10 как произведение 2 и 5.

5 * 2^2x - 7 * (2 * 5) ^x + 2 * 5^2x = 0.

5 * 2^2x - 7 * 2^x * 5^x + 2 * 5^2x = 0.

Поделим все уравнение на 5^2x:

5 * 2^2x/5^2x - 7 * 2^x * 5^x/5^2x + 2 * 5^2x/5^2x = 0.

5 * (2/5) ^2x - 7 * (2/5) ^x + 2 = 0.

Введем новую переменную, пусть (2/5) ^x = а.

5 а² - 7 а + 2 = 0.

D = 7² - 4 * 5 * 2 = 49 - 40 = 9 (√D = 3);

а₁ = (7 - 3) / (2 * 5) = 4/10 = 2/5.

а₂ = (7 + 3) / 10 = 10/10 = 1.

Вернемся к замене переменной (2/5) ^x = а.

а = 2/5; (2/5) ^x = 2/5; (2/5) ^x = (2/5) ¹; х = 1.

а = 1; (2/5) ^x = 1; (2/5) ^x = (2/5) ⁰; х = 0. Любое число в нулевой степени равно 1.

Ответ: корни уравнения 0 и 1.