Пятизначное число, записанное различными цифрами, умножили на 4. В результате получилось число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите первоначальное число. Назовите сумму его цифр.

1. Пусть x = abcde исходное пятизначное число, а y = edcba - перевернутое число. Тогда, по условию задачи, имеем:

4x = y; 4 * abcde = edcba. (1)

2. Из уравнения (1) следует, что первоначальное число меньше 25000, в противном случае для 'y' получили бы шестизначное число. С другой стороны, y делится на 4, значит двузначное число ba также делится на 4:

{4 (10a + b) < 100;

{10b + a = 4k;

{10a + b < 25;

{10b + a = 4k.

3. Возможные значения:

1) ab = 21;

21000 < x < 22000; 84000 < 4x < 88000; 84000 < y < 88000; Значит, e = 8.

2) ab = 23;

23000 < x < 24000; 92000 < 4x < 96000; 92000 < y < 96000; Значит, e = 9.

Но в этом случае 4e = 4 * 9 = 36 - не заканчивается на 2.

4. Таким образом, имеем:

x = 21cd8; y = 8dc12; 4 * 21cd8 = 8dc12; 84000 + 400c + 40d + 32 = 80000 + 1000d + 100c + 12; 4000 + 400c + 40d + 20 = 1000d + 100c; 402 + 40c + 4d = 100d + 10c; 402 + 30c = 96d; 67 + 5c = 16d; c = (16d - 67) / 5;

Единственное решение:

d = 7; c = (16 * 7 - 67) / 5 = (112 - 67) / 5 = 45/5 = 9.

5. Проверим:

x = 21978; 4x = 87912.

6. Сумма цифр:

2 + 1 + 9 + 7 + 8 = 27.

Ответ: 27.