6*4^x-13*6^x+6*9^x=0

6 * 4^x - 13 * 6^x + 6 * 9^x = 0.

Представим все степени как степени с основанием 2 или 3:

6 * (2²) ^x - 13 * (2 * 3) ^x + 6 * (3²) ^x = 0.

6 * (2^х) ² - 13 * 2^х * 3^x + 6 * (3^х) ² = 0.

Поделим уравнение на (3^х) ²:

6 * ((2/3) ^х) ² - 13 * (2/3) ^х + 6 = 0.

Введем новую переменную, пусть (2/3) ^х = а:

6 а² - 13 а + 6 = 0.

D = (-13) ² - 4 * 6 * 6 = 169 - 144 = 25 (√D = 5);

а₁ = (13 - 5) / (2 * 6) = 8/12 = 2/3.

а₂ = (13 + 5) / 12 = 18/12 = 3/2.

Возвращаемся к замене (2/3) ^х = а:

а = 2/3; (2/3) ^х = 2/3; (2/3) ^х = 2/3¹; х = 1.

а = 3/2; (2/3) ^х = 3/2; (2/3) ^х = (2/3) ^-1; х = - 1.

Ответ: корни уравнения равны - 1 и 1.