6 / (X^2-2X) - 12 / (X^2+2X) = 1/X

Чтобы решить уравнение содержащее дробь, найдем общий знаменатель:

6 / (x² - 2x) - 12 / (x² + 2x) = 1/х;

6/x (x - 2) - 12/x (x + 2) - 1/х = 0;

Общий знаменатель - х (x - 2) (x + 2).

6/x (x - 2) * х (x - 2) (x + 2) / х (x - 2) (x + 2) - 12/x (x + 2) * х (x - 2) (x + 2) / х (x - 2) (x + 2) - 1/х * х (x - 2) (x + 2) / х (x - 2) (x + 2) = 0;

(6 (х + 2) - 12 (x - 2) - (x - 2) (x + 2)) / х (x - 2) (x + 2) = 0;

Найдем ОДЗ:

х (x - 2) (x + 2) ≠ 0;

х1 ≠ 0;

х - 2 ≠ 0;

х2 ≠ 2;

х + 2 ≠ 0;

х3 ≠ - 2;

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю:

6 (х + 2) - 12 (x - 2) - (x - 2) (x + 2) = 0;

6 х + 12 - 12 х + 24 - х² + 4 = 0;

- х² - 6 х + 40 = 0;

х² + 6 х - 40 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * ( - 40) = 36 + 160 = 196;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 6 - √196) / 2 * 1 = ( - 6 - 14) / 2 = - 20 / 2 = - 10;

х2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 6 + √196) / 2 * 1 = ( - 6 + 14) / 2 = 8 / 2 = 4;

Ответ: х1 = - 10, x2 = 4.