Из набора натуральных чисел от 1 до 999 вычеркнули все четные числа, а также числа х, что 1000-х делится на 3. Сколько чисел осталось?

Для начала найдем количество всех четных натуральных чисел от 0 до 999.

Всего имеется 999 + 1 = 1000 натуральных чисел от 0 до 999, из которых половина четные и половина нечетные.

Следовательно, всего имеется 100 / 2 = 500 четных натуральных чисел от 0 до 999 и ровно столько же четных натуральных чисел от 1 до 999.

Найдем количество всех нечетных натуральных чисел вида 1000 - х, таких, что 1000 - х кратно трем и х > 0.

Для того, чтобы выражение 1000 - х было кратно трем, необходимо, чтобы число х при делении на 3 давало в остатке 1, то есть имело вид х = 3n + 1, где n - целое неотрицательное число.

Для того, чтобы выражение 1000 - х = 1000 - (3n + 1) = 999 - 3n было нечетным необходимо, чтобы число n было четным, то есть имело вид n = 2k, где к - целое неотрицательное число.

Найдем последнее положительное число последовательности 999 - 6k:

999 - 6k > 0;

6k < 999;

k < 999/6;

k < 166 1/2.

Следовательно, имеется 166 + 1 = 167 нечетных натуральных чисел вида 1000 - х, таких, что 1000 - х кратно трем и х > 0.

Следовательно, было вычеркнуто 500 + 167 = 667 чисел от 1 до 999, а осталось 999 - 667 = 332 числа.

Ответ: осталось 332 числа.