1. Какие две цифры можно приписать к числу 1313 справа, чтобы полученное шестизначное число делилось на 53? 2. Найти два двузначный числа, куб оного из которых равен квадрату другого.

1. Обозначим а и b - искомые цифры. Тогда получим число 1313 а b, которое должно делится на 53. Представим это число в следующем виде 1313 аb = 131300 + аb. Разделим 131300 на 53. Получим 131300 : 53 = 2477 (ост. 19). Т. е (аb + 19) должно делится на 53. (аb + 19) может быть как двузначным, так и трехзначным числом. Если (аb + 19) - двухзначное число и при этом еще делится на 53, то аb + 19 = 53, аb = 53 - 19; аb = 34. Получили а = 3, b = 4. Если (аb + 19) - трехзначное число, то аb + 19 = 53 * 2; аb + 19 = 106; аb = 106 - 19; аb = 87. Получили а = 8, b = 7.

Ответ: можно приписать 34 или 87.

2. Обозначим а и b - задуманные двузначные числа. Тогда а^3 = b^2. Пусть х^6 = а^3 и х^6 = b^2. Получим (x^2) ^3 = a^3, x^2 = a; (x^3) ^2 = b^2, x^3 = b. Т. е. а и b - сами являются квадратом и кубом некоторого числа. Подберем значение х так, чтобы условие задачи выполнялось.

х = 3, x^2 = 9 = а - не подходит, т. к а должно быть двузначным числом.

х = 5, x^2 = 25, x^3 = 125 = b - не подходит.

х = 4, x^2 = 16 = а, x^3 = 64 = b. Проверим, подходят ли эти числа: 16^3 = 4096, 64^2 = 4096.

Ответ: 16 и 64.