Решить уравнение: (2/3) ^x - (3/2) ^x=65/36

1. Чтобы решить показательное уравнение, воспользуемся свойством степени:

(2/3) ^x - (3/2) ^x = 65/36;

(2/3) ^x - (2/3) ^ ( - x) = 65/36;

2. Для решения выполним замену:

2/3^x = у > 0;

у - 1/у = 65/36;

у - 1/у - 65/36 = 0;

3. приведем к общему знаменателю 36 у:

36 у² - 65 у - 36 = 0;

4. Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 65) ² - 4 * 36 * 36 = 4225 + 5184 = 9407;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (65 - √9407) / 2 * 36 = (65 - 97) / 72 = - 32 / 72 = - 4/9, не подходит по условию;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (65 + √9407) / 2 * 36 = (65 + 97) / 72 = 162 / 72 = 9/4;

Найдем х:

2/3^x = у;

Если у = 9/4, то:

2/3^x = 9/4;

2/3^x = (3/2) ^2;

2/3^x = (2/3) ^ ( - 2);

Из равенства оснований следует:

x = - 2;

Ответ: х = - 2.