При каких значениях a график функций y=a+ax^2-2ax и y=2x имеют только одну общую точку?

1. Найдем абсциссу точки пересечения графиков, решив уравнение:

y = a + ax^2 - 2ax; y = 2x; a + ax^2 - 2ax = 2x; ax^2 - 2ax - 2x + a = 0; ax^2 - 2 (a + 1) x + a = 0. (1)

2. При a = 0 уравнение (1) не является квадратным и имеет единственное решение:

0 * x^2 - 2 (0 + 1) x + 0 = 0; x = 0.

Значение a = 0 удовлетворяет условию задачи.

3. При a ≠ 0 уравнение имеет одно решение при нулевом дискриминанте:

D/4 = (a + 1) ^2 - a * a = a^2 + 2a + 1 - a^2 = 2a + 1;

2a + 1 = 0; 2a = - 1; a = - 1/2.

Ответ: - 1/2 и 0.