Все натуральные числа от 2 до 101 разбили на две группы по 50 чисел в каждой. Числа в каждой группе перемножи - ли, и два полученных произведения сложили. Докажите, что эта сумма - составное число.

Все способы, которыми можно разбить натуральные числа от 2 до 101 на две группы по 50 чисел в каждой можно разделить на два случая:

1) в обеих группах присутствует хотя бы одно четное число, в этом случае произведения чисел каждой из групп делятся на 2, а значит и сумма произведений делится на 2 и, следовательно, является составным числом;

2) в одной группе присутствуют только четные числа, во второй только нечетные, в этом случае в каждой из группы присутствуют числа, делящиеся на 3 (например, в "нечетной" группе 3, в "четной" группе 6), а значит произведения чисел каждой из групп делятся на и и их сумма делится на 3, и, следовательно, является составным числом.