Упростить: (x^-1 - y^-1) * (x-y) ^-1

Нам нужно упростить выражения (x^ ( - 1) - y^ ( - 1)) * (x - y) ^ ( - 1).

Алгоритм решения задания выполним действия в скобках (приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание дробей); вспомним правило умножения обыкновенных дробей и применим его к нашему выражению; сократим полученную дробь; запишем ответ. Упростим выражение (x^ ( - 1) - y^ ( - 1)) * (x - y) ^ ( - 1)

Запишем нашу дробь в виде: (1/x - 1/y) * (1 / (x - y))

Согласно алгоритма, выполним первым действие в скобках. Прежде чем приступить к вычитанию дробей нужно привести их к общему знаменателю.

Общим знаменателем будет произведение знаменателей дробей находящихся в скобках - xy. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на y, а второй на - x, получим:

(1/x - 1/y) * (1 / (x - y)) = (y/xy - x/xy) * (1 / (x - y));

Вспомним правило вычитания дробей и применим его к выражению в скобках.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

(y/xy - x/xy) * (1 / (x - y)) = (y - x) / xy * 1 / (x - y);

Теперь нам нужно перемножить две дроби, вспомним правило.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе - знаменателем.

(y - x) / xy * 1 / (x - y) = ((y - x) * 1) / (xy (x - y));

Сократим полученную в результате умножения дробь на выражение (x - y), но сначала поменяем местами переменные x и y в числителе дроби, вынеся минус перед дробью:

(y - x) / xy (x - y) = - (x - y) / xy (x - y) = - 1/xy.

Ответ: - 1/xy.

Чтобы упростить выражение (x^ (-1) - y^ (-1)) * (x - y) ^ (-1) вспомним свойство степеней с отрицательными показателями.

а^ (-n) = 1/a^n.

Применим данное свойство для каждой скобки данного выражения.

(x^ (-1) - y^ (-1)) * (x - y) ^ (-1) = (1/х - 1/у) 1 / (х - у).

В первой скобке при ведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

(1/х - 1/у) 1 / (х - у) = (у - х) / ху * 1 / (х - у) = (у - х) / ху (х - у).

В числителе полученной дроби вынесем минус за скобки, получим:

- (х - у) / ху (х - у) = - 1/ху.

Ответ: - 1/ху.