Abc+ab+bc+ac+a+b+c=1000 Найдите сумму a+b+c

Заметим, что

(a + 1) * (b + 1) * (c + 1) = (a * b + a + b + 1) * (c + 1) =

= a * b * c + a * b + a * c + a + b * c + b + c + 1 =

= a * b * c + a * b + a * c + b * c + a + b + c + 1.

Тогда, по условию задачи:

a * b * c + a * b + a * c + b * c + a + b + c = 1000,

(a + 1) * (b + 1) * (c + 1) - 1 = 1000,

(a + 1) * (b + 1) * (c + 1) = 1001.

Разложим 1001 на простые множители:

1001 = 7 * 11 * 13.

Поэтому уравнение (a + 1) * (b + 1) * (c + 1) = 1001 имеет решение в целых числах, когда множители левой части уравнения в любом порядке:

a + 1 = 7,

b + 1 = 11,

c + 1 = 13, где a, b, c можно заменить на любые тройки в другой последовательности.

Нас интересует сумма a + b + c и поэтому от изменения последовательности она не изменится. Поэтому

a + b + c = 6 + 10 + 12 = 28.

Ответ: 28.