Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8 см основания относятся как 1:2 найти их

Question

Тимофей Рубцов

Математика

27 июня, 16:58

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8 см основания относятся как 1:2 найти их

+2

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Милана Баранова · Answer 1

Пусть АВСД - данная трапеция (АД и ВС - основания), ВС: АД = 1 : 2. ВД перпендикулярно АС. АС = 6 см, ВД = 8 см.

Пусть диагонали АС и ВД пересекаются в точке О.

Рассмотрим треугольники ВОС и АОД: угол ВОС = АОД = 90° (по условию), угол ВСО равен углу ОАД (внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и АД и секущей АС). Следовательно, треугольники подобны по двум углам.

Так как ВС относится к АД как 1 к 2, то коэффициент подобия равен 1/2.

Значит, ВО/ДО = 1/2. Пусть ВО = х, ДО = 2 х.

ВО + ДО = ВД.

х + 2 х = 8.

3 х = 8.

х = 8/3 (см) - это длина ВО.

Аналогично, СО/АО = 1/2, пусть СО = у, АО = 2 у.

АО + СО = АС.

у + 2 у = 6.

3 у = 6.

у = 2 (см) - это длина СО.

В треугольнике ВОС (угол О равен 90°) вычислим длину ВС по теореме Пифагора:

ВС² = BO² + CO² = (8/3) ² + 2² = 64/9 + 4 = 64/9 + 36/9 = 100/9.

BC = √ (100/9) = 10/3 = 3 1/3 (см).

Так как АД в два раза больше ВС, то АД = 10/3 * 2 = 20/3 = 6 2/3 (см).

Ответ: основания трапеции равны 3 1/3 см и 6 2/3 см.