Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией? 1) Последовательность натуральных степеней числа 2. 2) Последовательность натуральных чисел, кратных 5. 3) Последовательность кубов натуральных чисел. 4) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 1 меньше знаменателя.

Question

Анна Белоусова

Математика

18 февраля, 16:29

Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией? 1) Последовательность натуральных степеней числа 2. 2) Последовательность натуральных чисел, кратных 5. 3) Последовательность кубов натуральных чисел. 4) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 1 меньше знаменателя.

+2

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Максим Герасимов · Answer 1

Для того, чтобы доказать, что некоторая последовательность сn не является арифметической прогрессией, достаточно показать, что для первых 3 членов этой последовательности справедливо соотношение c2 - c1 ≠ c3 - c2, поскольку в любой арифметической прогрессии разности c2 - c1 и c3 - c2 совпадают и равны знаменателю арифметической прогрессии.

1) Докажем, что последовательность натуральных степеней числа 2 не является арифметической прогрессией.

Выпишем первые 3 члена этой последовательности:

с1 = 2¹ = 2;

с2 = 2² = 4;

с3 = 2³ = 8.

Находим c2 - c1 и c3 - c2:

c2 - c1 = 4 - 2 = 2;

c3 - c2 = 8 - 4 = 4.

Поскольку c3 - c2 ≠ c2 - c1, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

3) Докажем, что последовательность натуральных чисел аn, кратных 5 является арифметической прогрессией.

Данную последовательность можно записать в виде аn = 5 * n.

Найдем разность между n+1 членом и n-м членом данной последовательности:

а_n+1 - а_n = 5 * (n+1) - 5 * n = 5 * n + 5 - 5 * n = 5.

Следовательно, а_n+1 = а _n + 5, и, согласно определению, данная последовательность является арифметической прогрессией со знаменателем 5.

3) Докажем, что последовательность кубов натуральных чисел не является арифметической прогрессией.

Выпишем первые 3 члена этой последовательности:

с1 = 1³ = 1;

с2 = 2³ = 8;

с3 = 3³ = 27.

Находим c2 - c1 и c3 - c2:

c2 - c1 = 8 - 1 = 7;

c3 - c2 = 27 - 8 = 19.

Поскольку c3 - c2 ≠ c2 - c1, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

4) Докажем, что последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 1 меньше знаменателя не является арифметической прогрессией.

Выпишем первые 3 члена этой последовательности:

с1 = 1/2;

с2 = 2/3;

с3 = 3/4.

Находим c2 - c1 и c3 - c2:

c2 - c1 = 2/3 - 1/2 = 4/6 - 3/6 = 1/6;

c3 - c2 = 3/4 - 2/3 = 9/12 - 8/12 = 1/12.

Поскольку c3 - c2 ≠ c2 - c1, данная последовательность не является арифметической прогрессией.