В прямоугольнике биссектриса прямого угла делит сторону на отрезки 42 см и 14 см. На какие отрезки эта биссектриса делит диагональ пополам?

Обозначим прямоугольник буквами АВСД, СК - биссектриса угла С, ДК = 42 см, АК = 14 см. Пусть Е - точка пересечения биссектрисы СК и диагонали ВД.

Сторона АД равна сумме отрезков АК и ДК, АД = 42 + 14 = 56 см. ВС = АД = 56 см (в прямоугольнике противоположные стороны равны).

Треугольник ВСД прямоугольный, вычислим длину диагонали по теореме Пифагора: ВД = √ (56^2 + 42^2) = √ (3136 + 1764) = √4900 = 70 см.

Рассмотрим треугольники ВЕС и ДЕК: угол ВЕС равен углу ДЕК (вертикальные углы), угол ВСЕ равен углу ДКЕ (внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и АД и секущей СК). Значит, треугольники подобны.

Вычислим коэффициент подобия: k = ВС/ДК = 56/42 = 4/3.

Значит, ВЕ относится к ДЕ как 4/3.

Пусть ВЕ = 4 х, а ДЕ = 3 х. Длина ВД равна 70 см, составляем уравнение:

4 х + 3 х = 70;

7 х = 70;

х = 10.

Значит, ВЕ = 4 * 10 = 40 см. ДЕ = 3 * 10 = 30 см.

Ответ: биссектриса делит диагональ на отрезки 40 см и 30 см.