Решить уравнение! 1/х^2+4/х-12=0

Решаем дробно-рациональное уравнение 1/х^2 + 4/х - 12 = 0 используя тождественные преобразования.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения найдем область допустимых значений для данного уравнения; избавимся от знаменателей в левой части уравнения, домножив, в данном случае на x^2 обе части уравнения; переходим к решению полного квадратного уравнения; находим дискриминант уравнения; находим корни уравнения и проверяем их на принадлежность ОДЗ. Область допустимых значений уравнения 1/х^2 + 4/х - 12 = 0

Рассмотрим уравнение 1/х^2 + 4/х - 12 = 0.

В левой части присутствует переменная в знаменателе дроби. Знак дроби равносилен знаку деления. Известно, что на ноль делить нельзя. Значит мы должны исключить из ОДЗ значения обращающие знаменатель в ноль.

x ≠ 0.

ОДЗ уравнения: x ∈ R / {0}.

Решаем дробно-рациональное уравнения

1/х^2 + 4/х - 12 = 0;

Домножим на x^2 обе части уравнения, тем самым избавимся от дробей в левой части уравнения.

x^2 (1/x^2 + 4/x - 12) = 0;

1 + 4x - 12x^2 = 0;

12x^2 - 4x - 1 = 0;

Решаем полученное полное квадратное уравнения через дискриминант.

Вспомним формулу для нахождения дискриминанта и найдем его для нашего уравнения:

D = b^2 - 4ac;

D = ( - 4) ^2 - 4 * 12 * ( - 1) = 16 + 48 = 64;

Вспомним формулы для нахождения корней уравнения. И найдем корни для нашего уравнения.

x1 = ( - b + √D) / 2a = (4 + √64) / (2 * 12) = (4 + 8) / 24 = 12/24 = 1/2;

x2 = ( - b - √D) / 2a = (4 - √64) / (2 * 12) = (4 - 8) / 24 = - 4/24 = - 1/6.

Найденные корни принадлежат ОДЗ.

Ответ: x = 1/2; x = - 1/6.

Уравнение сведем к общему знаменателю (которым является х^2):

1/х^2 + 4/х - 12 = 0;

(1 + (4) * х - 12 * х^2) / x^2 = 0;

(1 + 4 х - 12 х^2) / x^2 = 0;

Знаменатель не может равняться нулю поэтому, область допустимых значений данного выражения будет все множество чисел, кроме х = 0, рассмотрим числитель, где видим квадратичное уравнение, решим его:

1 + 4 х - 12 х^2 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * ( - 12) * 1 = 16 + 48 = 64;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

x1 = ( - 4 - √64) / 2 * ( - 12) = - 12 / ( - 24) = 0.5;

x2 = ( - 4 + √64) / 2 * ( - 12) = 4 / ( - 24) = - 1/6;

х1 и х2 не равняется ОДЗ.

Ответ: 0.5, - 1/6