найти сумму 1/2*4+1/4*6+1/6*8 + ... + 1/2010*2012+1/2012*2014

Для того, чтобы вычислить значение данного выражения, покажем, что для любого числа n > 0 выполняется соотношение 2 / (n * (n + 2)) = 1/n - 1 / (n + 2):

1/n - 1 / (n + 2) = (n + 2) / (n * (n + 2)) - n / (n * (n + 2)) = (n + 2 - n) / (n * (n + 2)) = 2 / (n * (n + 2)).

Теперь можем вычислить искомую сумму:

1/2*4 + 1/4*6 + 1/6*8 + ... + 1/2010*2012 + 1/2012*2014 = 2 * (1/2*4 + 1/4*6 + 1/6*8 + ... + 1/2010*2012 + 1/2012*2014) / 2 = (2/2*4 + 2/4*6 + 2/6*8 + ... + 2/2010*2012 + 2/2012*2014) / 2 = (1/2 - 1/4 + 1/4 - 1/6 + 1/8 - 1/8 + ... + 1/2010 - 1/2012 + 1/2012 - 1/2014) / 2 = (1/2 - 1/2014) / 2 = (503/1007) / 2 = 503/2014.

Ответ: 503/2014.