1. Найдите сумму корней уравнения: (x+1) (x+2) (x+4) (x+5) = 40 (x принадлежит R) 2. Если a+1/a=3 то чему равно: (a^4+1) / (2*a^2) ?3. Найдите сумму чисел целых корней уравнения: x^2+3x+6 / (2-3x-x^2) = 14. Чему равно (x+y) ^2 если (система) : x^2+y^2=10 xy=3

1) (x + 1) (x + 2) (x + 4) (x + 5) = 40.

Меняем местами скобки:

(x + 1) (x + 5) (x + 2) (x + 4) = 40.

Раскрываем скобки попарно:

(х² + 6 х + 5) (х² + 6 х + 8) = 40.

Произведем замену, пусть х² + 6 х = а.

(а + 5) (а + 8) = 40.

a² + 13 а + 40 = 40.

Отсюда a² + 13 а = 0; а (а + 13) = 0; а = 0 или а = - 13.

Вернемся к замене х² + 6 х = а.

а = 0; х² + 6 х = 0; х (х + 6) = 0; х = 0 или х = - 6.

а = - 13; х² + 6 х = - 13; х² + 6 х + 13 = 0; D = 36 - 42 = - 6 (D < 0; нет корней).

Сумма корней уравнения: 0 + (-6) = - 6.

2) (a⁴ + 1) / (2a²), если a + 1/a = 3.

Возведем второе уравнение в квадрат:

(a + 1/a) ² = 3².

a² + 2 + 1/a² = 9.

Отсюда a² + 1/a² = 9 - 2; a² + 1/a² = 7.

Преобразуем первое уравнение:

(a⁴ + 1) / (2a²) = 1/2 * ((a⁴ + 1) / a²) = 1/2 * (a⁴/а² + 1/a²) = 1/2 * (а² + 1/a²).

И так как a² + 1/a² = 7, то получается:

1/2 * (а² + 1/a²) = 1/2 * 7 = 7/2 = 3,5.

3) x² + 3x + 6 / (2 - 3x - x²) = 1.

Преобразуем знаменатель дроби:

x² + 3x + 6 / (-x² - 3 х + 2) = 1.

x² + 3x - 6 / (x² + 3 х - 2) = 1.

Введем новую переменную, пусть x² + 3 х = а.

а - 6 / (а - 2) = 1.

Приведем к общему знаменателю:

(а (а - 2) - 6) / (а - 2) = 1.

(а² - 2 а - 6) / (а - 2) = 1.

По свойству пропорции:

а² - 2 а - 6 = а - 2.

а² - 3 а - 4 = 0.

По теореме Виета корни равны 4 и - 1.

Возвращаемся к замене x² + 3 х = а:

а = - 1; x² + 3 х = - 1; x² + 3 х + 1 = 0; D = 9 - 4 = 5 (√D = √5).

х₁ = (-3 - √5) / 2; х₂ = (-3 + √5) / 2. Эти корни не являются целыми числами.

а = 4; x² + 3 х = 4; x² + 3 х - 4 = 0; по теореме Виета корни равны - 4 и 1.

Сумма целых решений уравнения: - 4 + 1 = - 3.

4) x² + y² = 10; xy = 3.

Выразим из второго уравнение у и подставим в первое:

у = 3/х.

x² + (3/х) ² = 10.

x² + 9/х² - 10 = 0.

Приведем к общему знаменателю:

(x⁴ + 9 - 10 х²) / х² = 0.

(x⁴ - 10 х² + 9) / х² = 0.

Отсюда х не равен 0.

x⁴ - 10 х² + 9 = 0.

Произведем замену, пусть х² = a.

а² - 10 а + 9 = 0.

D = 100 - 36 = 64 (√D = 8);

х₁ = (10 - 8) / 2 = 1.

х₂ = (10 + 8) / 2 = 9.

Вернемся к замене х² = a.

а = 1; х = ±√1; х = 1 и х = - 1.

а = 9; х = ±√9; х = 3 и х = - 3.

Находим значения у (у = 3/х):

х = 1; у = 3/1 = 3.

х = - 1; у = 3 / (-1) = - 3.

х = 3; у = 3/3 = 1.

х = - 3; у = 3 / (-3) = - 1.

Отсюда (x + y) ² равно:

(1 + 3) ² = 16.

(-1 - 3) ² = 16.

(3 + 1) ² = 16.

(-3 - 1) ² = 16.